Cho hàm số y =x^3 +x^2 +mx -1 m là tham số . Tìm m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung Giải thích rõ làm sao ra x cực tiểu

Đáp án:

m<0

Bài làm:

Ta có

$y' = 3x^2 + 2x + m$

Xét phương trình $y' = 0$

$3x^2 + 2x + m = 0$

Có $\Delta' = 1 - 3m$

Để phương trình có cực đại và cực tiểu thì $\Delta' > 0$ hay $m < \dfrac{1}{3}$.

Khi đó, 2 nghiệm của phương trình là

$x_1 = \dfrac{-1-\sqrt{1 - 3m}}{3}, x_2 = \dfrac{-1+\sqrt{1-3m}}{3}$

Ta xét

$y'' = 6x + 2$

Khi đó

$y''(x_1) = 2(-1-\sqrt{1-3m}) + 2 = -2\sqrt{1-3m} < 0$

$y''(x_2) = 2(-1 + \sqrt{1-3m}) + 2 = 2\sqrt{1-3m} > 0$

Vậy $x_2$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Để điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung thì $x_2 > 0$ hay

$-1+\sqrt{1-3m} > 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{1-3m} > 1$

$\Leftrightarrow 1 - 3m > 1$

$\Leftrightarrow m < 0$

Kết hợp với điều kiện ta có $m < 0$.