Giải phương trình `(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+3/2x-3.` `-` Làm đến chỗ `Δ'` cảm thấy khó khăn nên nhờ các bạn giúp ạ:D! Mình cảm ơn trước ạ.

Điều kiện xác định $x^2\ge \dfrac 1 2$

Đặt $t=\sqrt{2x^2-1}(t\ge 0)$. Phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}
\left( {3x + 1} \right)t = 5{x^2} + \dfrac{3}{2}x - 3\\
 \Leftrightarrow 2\left( {3x + 1} \right)t = 10{x^2} + 3x - 6\\
 \Leftrightarrow 2\left( {3x + 1} \right)t = 4\left( {2{x^2} - 1} \right) + 2{x^2} + 3x - 2\\
 \Leftrightarrow 2\left( {3x + 1} \right)t = 4{t^2} + 2{x^2} + 3x - 2\\
 \Leftrightarrow 4{t^2} - 2\left( {3x + 1} \right)t + 2{x^2} + 3x - 2 = 0\\
\Delta ' = {\left( {3x + 1} \right)^2} - 4\left( {2{x^2} + 3x - 2} \right) = 9{x^2} + 6x + 1 - 8{x^2} - 12x + 8\\
 = {x^2} - 6x + 9 = {\left( {x - 3} \right)^2}\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \dfrac{{3x + 1 + x - 3}}{4} = \dfrac{{4x - 2}}{4} = \dfrac{{2x - 1}}{2}\\
t = \dfrac{{3x + 1 + 3 - x}}{4} = \dfrac{{x + 2}}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} - 1}  = \dfrac{{2x - 1}}{2}\left( {x \ge \dfrac{1}{2}} \right)\\
\sqrt {2{x^2} - 1}  = \dfrac{{x + 2}}{2}\left( {x \ge  - 2} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4\left( {2{x^2} - 1} \right) = {\left( {2x - 1} \right)^2}\\
4\left( {2{x^2} - 1} \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8{x^2} - 4 = 4{x^2} - 4x + 1\\
8{x^2} - 4 = {x^2} + 4x + 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 = 0\\
7{x^2} - 4x - 8 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}(tm)\\
x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2}(L)\\
x = \dfrac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7}(tm)\\
x = \dfrac{{2 - 2\sqrt {15} }}{7}(tm)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow S = \left\{ {\dfrac{{\sqrt 6  - 1}}{2};\dfrac{{2 + 2\sqrt {15} }}{7};\dfrac{{2 - 2\sqrt {15} }}{7}} \right\}
\end{array}$