Rút gọn BT $\sqrt{2+2\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt{3}}}}$ + $\sqrt{2-2\sqrt{3-\sqrt{13-4\sqrt{3}}}}$

Đáp án:

`2\sqrt{3}`

Giải thích các bước giải:

`\sqrt{2 + 2\sqrt{3 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}} + \sqrt{2 - 2\sqrt{3 - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}}`

`= \sqrt{2 + 2\sqrt{3 + \sqrt{12 + 4\sqrt{3} + 1}}} + \sqrt{2 - 2\sqrt{3 - \sqrt{12 - 4\sqrt{3} + 1}}}`

`= \sqrt{2 + 2\sqrt{3 + \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2.2\sqrt{3}.1 + 1^2}}} + \sqrt{2 - 2\sqrt{3 - \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 2.2\sqrt{3}.1 + 1^2}}}`

`= \sqrt{2 + 2\sqrt{3 + \sqrt{(2\sqrt{3} + 1)^2}}} + \sqrt{2 - 2\sqrt{3 - \sqrt{(2\sqrt{3} - 1)^2}}}`

`= \sqrt{2 + 2\sqrt{3 + |2\sqrt{3} + 1|}} + \sqrt{2 - 2\sqrt{3 - |2\sqrt{3} - 1|}}`

`= \sqrt{2 + 2\sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1}} + \sqrt{2 - 2\sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1}}`

`= \sqrt{2 + 2\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}} + \sqrt{2 - 2\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}}`

`= \sqrt{2 + 2|\sqrt{3} + 1|} + \sqrt{2 - 2|\sqrt{3} - 1|}`

`= \sqrt{2 + 2(\sqrt{3} + 1)} + \sqrt{2 - 2(\sqrt{3} - 1)}`

`= \sqrt{2 + 2\sqrt{3} + 2} + \sqrt{2 - 2\sqrt{3} + 2}`

`= \sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1} + \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1}`

`= \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2}`

`= |\sqrt{3} + 1| +|\sqrt{3} - 1|`

`= \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1`

`= 2\sqrt{3}` 

`***` Áp dụng:

`+` Hằng đẳng thức:

`(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2`

`(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2`

`+` `\sqrt{A^2} = |A|`