Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm H thuộc tia đối của tia BA rồi vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại H. Gọi C là điểm thuộc đường tròn (O).Tia AC cắt đường thẳng d tại N, qua N kẻ tiếp tuyến NE với (O) ( E và B thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AN). Các đường thẳng AE và BE cắt đường thẳng d lần lượt tại K và I. C/m: a) Kb vuông góc AI b) KECN là tứ giác nội tiếp c) N là trung điểm của IK

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to BE\perp AE\to IB\perp AK$

         $AB\perp (d)\to AB\perp KI$

$\to B$ là trực tâm $\Delta KAI$

$\to KB\perp AI$

 b.Ta có:

$\widehat{EKN}=\widehat{AKH}=90^o-\widehat{KAH}=90^o-\widehat{EAB}=\widehat{EBA}=\widehat{ECA}$

$\to KECN$ nội tiếp

c.Vì $NE$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{NEB}=\widehat{EAB}=90^o-\widehat{EBA}=90^o-\widehat{HBI}=\widehat{HIB}=\widehat{EIN}$

$\to\Delta NEI$ cân tại $N\to NE=NI$

Mặt khác: $\widehat{NEK}=90^o-\widehat{NEI}=90^o-\widehat{NIE}=\widehat{NKE}$

$\to \Delta NEK$ cân tại $N\to NE=NK$

$\to NK=NI(=NE)$

$\to N$ là trung điểm $KI$