Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R và thoả mãn $f(x).f'''(x)=x(x-1)^2(x+4)^3$ với mọi x thuộc R và $g(x)=[f'(x)]^2-2f(x).f''(x)$. Hàm số $h(x)=g(x^2-2x)$ đồng biến trên nhưng khoảng nào?

Đáp án:

$(-\infty;0)$ và $(1;2)$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\quad g(x)= [f'(x)]^2 - 2f(x).f''(x)$

$\Rightarrow g'(x)= 2f'(x).f''(x) - 2[f'(x).f''(x) + f(x).f'''(x)]$

$\Leftrightarrow g'(x)= - 2f(x).f'''(x)$

$\Leftrightarrow g'(x)= - \dfrac12\cdot x(x-1)^2(x +4)^3$

$\Rightarrow g'(x^2 - 2x)= - \dfrac12(x^2 - 2x)(x^2 - 2x -1)^2(x^2 - 2x +4)^3$

Khi đó:

$\quad h(x)= g(x^2 - 2x)$

$\Rightarrow h'(x)= (2x -2).g'(x^2 - 2x)$

$\Leftrightarrow h'(x)= - x(x-1)(x-2)(x^2 - 2x -1)^2(x^2 - 2x +4)^3$

$h'(x)= 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\\x = 1\pm \sqrt2\ \ \text{(nghiệm kép)}\end{array}\right.$

Bảng xét dấu đạo hàm:

$\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&&0&&1&&2&&+\infty\\\hline h'(x)&&+&0&-&0&+&0&-&\end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu, ta được:

Hàm số $y = h(x)$ đồng biến trên $(-\infty;0)$ và $(1;2)$