Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (0) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn OC lấy điểm I (I khác C và O). Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A, E). Gọi H là trung điểm DE. a) Chứng minh tứ giác ABOH nội tiếp b) Chứng minh : AB/AE=BD/BE c) Đường thẳng d đi qua E song song với AO, cắt BC tại K. Chứng minh: HK // DC. d) Tia CD cắt AO tại P, tia EO cắt BP tại F. Chứng minh BECF là hình chữ nhật

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $AB$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB$

               $H$ là trung điểm $CD\to OH\perp CD$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{AHO}=90^o$

$\to ABOH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Xét $\Delta ABD,\Delta ABE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ABD}=\widehat{AEB}$ vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta ABD\sim\Delta AEB(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BD}{BE}$

c.Ta có: $EK//AO$

$\to \widehat{IEK}=\widehat{HAO}=\widehat{HBO}=\widehat{HBK}$

$\to BHKE$ nội tiếp

$\to \widehat{HKB}=\widehat{HEB}=\widehat{DEB}=\widehat{DCB}$

$\to HK//CD$

d.Kẻ $BQ\perp AO, Q\in AO$

Ta có: $BC$ là đường kính của $(O)\to BD\perp DC$

$\to \widehat{PQB}=\widehat{PDB}=90^o$

$\to BPDQ$ nội tiếp

Vì $\Delta ABO$ vuông tại $B, BQ\perp AO$

$\to AB^2=AQ\cdot AO$

Từ câu b $\to \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}$

$\to AB^2=AD\cdot AE$

$\to AD\cdot AE=AQ\cdot AO$

$\to \dfrac{AD}{AO}=\dfrac{AQ}{AE}$

Mà $\widehat{DAQ}=\widehat{OAE}$

$\to \Delta ADQ\sim\Delta AOE(c.g.c)$

$\to \widehat{ADQ}=\widehat{AOE}=\widehat{QOE}$

$\to OQDE$ nội tiếp

Do $PDQB$ nội tiếp

$\to \widehat{FBD}=\widehat{PBD}=\widehat{PQD}=\widehat{DEO}=\widehat{DEF}$

$\to BEDF$ nội tiếp

$\to F\in (O)$

Do $E,O, F$ thẳng hàng $\to EF$ là đường kính của $(O)$

$\to EF\cap BC=O$ là trung điểm mỗi đường và $EF=BC$

$\to BECF$ là hình chữ nhật