Cho đường tròn (O;R), từ điểm M ở ngoài (O) (OM < 2R) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB (A,B là hai tiếp tuyến) a/ Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và OM vuông góc với AB b/ Vẽ đường kính BC, đường thẳng qua O vuông óc với AC cắt MA tại D. Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và tích CD.BM không đổi khi M di chuyển c/ Đường thẳng qua O vuông góc với BD cắt BM tại E. Chứng minh M là trung điểm của BE

Giải thích các bước giải:

a.Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MA\perp OA, MB\perp OB, MO\perp BA$

$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^o$

$\to MAOB$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$

 b.Vì $OD\perp AC\to OD$ là trung trực $AC\to A, C$ đối xứng qua $OD$

$\to \widehat{DAO}=\widehat{DCO}=90^o$

$\to DC\perp OC$

$\to DC$ là tiếp tuyến của $(O)$

Vì $DA, DC$ là tiếp tuyến của $(O)\to OD$ là phân giác $\widehat{AOC}$

Tương tự $OM$ là phân giác $\widehat{AOB}$

Do $\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180^o$

$\to OD\perp OM$

Lại có $OA\perp DM$

             $DA, DC$ là tiếp tuyến của $(O)\to DA=DC$

             $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MA=MB$

$\to DC\cdot BM=AD\cdot AM=OA^2=R^2$ không đổi khi $M$ di chuyển

c.Ta có: $\widehat{DAO}=\widehat{DFO}=\widehat{DCO}=90^o$
$\to D, A, F, O, C\in$ đường tròn đường kính $DO$

$\to\widehat{EFA}=\widehat{ACO}=\widehat{ACB}=\widehat{MBA}=\widehat{EBA}$

$\to EBFA$ nội tiếp

$\to \widehat{EAB}=\widehat{EFB}=90^o$

$\to EA\perp AB$

Do $AB\perp AC\to E, A, C$ thẳng hàng

Ta có: $OM//AC(\perp AB)\to OM//CE$

Mà $O$ là trung điểm $BC\to M$ là trung điểm $BE$