cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) (AB<AC) vẽ đường cao BE,CF cắt nhau tại H Các đường thẳng BE,CF lần lượt cắt (O) tại P và Q (P khác B, Q khác C) tiếp tuyến tại B và C cắt EF lần lượt tại N,M a) Chứng minh 4 điểm B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn b) Đường thẳng MP cắt (O) tại điểm thứ 2 là K Chứng minh tam giác MEC cân và ME^2=MK.Mp c) Chứng minh góc FEK=góc FAK và N,K,Q thẳng hàng Gấp ạ

a)

Tứ giác $BFEC$ có $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90{}^\circ $

$\to BFEC$ nội tiếp đường tròn

$\to $Bốn điểm $B,F,E,C$ cùng thuộc một đường tròn

b)

$MC$ là tiếp tuyến, $CA$ là dây cung

$\to \widehat{MCA}=\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{MEC}$ (vì $BFEC$ nội tiếp)

$\to \widehat{MCA}=\widehat{MEC}$

$\to \Delta MEC$ cân tại $M$

Xét $\Delta MCP$ và $\Delta MKC$, ta có:

+   $\widehat{CMP}$ là góc chung

+   $\widehat{MCP}=\widehat{MKC}$

$\to \Delta MCP\backsim\Delta MKC\left( g.g \right)$

$\to M{{C}^{2}}=MP.MK$

$\to M{{E}^{2}}=MP.MK$

c)

Vì $M{{E}^{2}}=MP.MK$

$\to \Delta MEK\backsim\Delta MPE\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{MEK}=\widehat{MPE}$

$\to \widehat{FEK}=\widehat{KPE}$ (hai góc kề bù tương ứng bằng nhau)

Mà $\widehat{KPE}=\widehat{FAK}$ (cùng chắn cung $BK$)

$\to \widehat{FEK}=\widehat{FAK}$

$NB$ tiếp tuyến, $BK$ dây cung $\to \widehat{NBK}=\widehat{FAK}$

$\to \widehat{FEK}=\widehat{NBK}$

$\to NKEB$ nội tiếp

$\to \widehat{NKB}=\widehat{NEB}=\widehat{FEB}=\widehat{FCB}=\widehat{QCB}=\widehat{QKB}$

Do $\widehat{NKB}=\widehat{QKB}$

$\to N,Q,K$ thẳng hàng