cho phương trình x ²-2mx+2m-2=0, với m là số thực. Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm X1,X2 thỏa mãn X1+3X2=6

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 $x^2 - 2mx + 2m - 2 = 0(a = 1; b = -2m; c = 2m - 2)$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4 . 1 . (2m - 2)$

$= 4m^2 - 8m + 8$
$= 4m^2 - 8m + 4 + 4$

$= (2m - 2)^2 + 4$

Mà $(2m - 2)^2 \ge 0$ với mọi $m$

$\Rightarrow \Delta = (2m - 2)^2 + 4 > 0$ với mọi $m$
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo định lý Viet, ta có:
$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{2m}{1} = 2m \\ x_1x_2 = \dfrac{2m - 2}{1} = 2m - 2 \end {cases}$

$x_1 + 3x_2 = 6$

$\Leftrightarrow x_1 + x_2 + 2x_2 = 6$

$\Leftrightarrow 2m + 2x_2 = 6$

$\Leftrightarrow 2x_2 = 6 - 2m$

$\Leftrightarrow x_2 = \dfrac{6 - 2m}{2} = \dfrac{2(3 - m)}{2} = 3 - m$

$\Leftrightarrow x_1 = 2m - 3 + m = 3m - 3$

$x_1x_2 = 2m - 2$
$\Leftrightarrow (3m - 3)(3 - m)= 2m - 2$

$\Leftrightarrow 9m - 9 - 3m^2 + 3m = 2m - 2$

$\Leftrightarrow -3m^2 + 12m - 9 = 2m - 2$

$\Leftrightarrow -3m^2 + 12m - 9 - 2m + 2 =0$

$\Leftrightarrow -3m^2 + 10m - 7 = 0$

$\Leftrightarrow -3m^2 + 7m + 3m - 7 = 0$

$\Leftrightarrow -m(3m - 7) + (3m - 7) = 0$

$\Leftrightarrow (1 - m)(3m - 7) = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}m=1\\m=\dfrac{7}{3}\end{array} \right.\) 

Vậy với $m= 1$ và $m = \dfrac{7}{3}$ thì phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1 + 3x_2 = 6$