Cos^2A+cos^2B+cos^2C=3/4 thì tam giác abc đều

$\begin{array}{l}
A + B + C = \pi  \Rightarrow A + B = \pi  - C\\
{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = \dfrac{{1 + \cos 2A}}{2} + \dfrac{{1 + \cos 2B}}{2} + {\cos ^2}C\\
 = 1 + \cos \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + {\cos ^2}C\\
 = 1 + \cos \left( {\pi  - C} \right)\cos \left( {A - B} \right) + {\cos ^2}C\\
 = 1 - \cos C\cos \left( {A - B} \right) + {\cos ^2}C\\
 = 1 - \cos C\left[ {\cos \left( {A - B} \right) - \cos C} \right]
\end{array}$

Nếu góc $C$ tù thì $-\cosC[\cos(A-B)-\cos(C)]<0$. Suy ra $\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C>1>\dfrac{3} 4$

Nếu góc $C$ không tù thì:

$\begin{array}{l}
{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C\\
 = 1 - \cos C\left[ {\cos \left( {A - B} \right) - \cos C} \right]\\
 \bullet \cos \left( {A - B} \right) \le 1\\
 \Rightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C \ge 1 - \cos C\left( {1 - \cos C} \right)\\
 \ge 1 - {\left( {\dfrac{{\cos C + 1 - \cos C}}{2}} \right)^2} = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}
\end{array}$

Theo đề ta được $\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C=\dfrac 3 4$ nên dấu bằng xảy ra.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \cos \left( {A - B} \right) = 1\\ \cos C = 1 - \cos C \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = B\\ \cos C = \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow A = B = C = \dfrac{\pi }{3} \end{array}$

Vậy $\triangle ABC$ đều.