Cho khối chóp tam giác đều cạnh bên bằng a căn 7 góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 60 độ. Tính thể tích khối chóp

Gọi chóp đó là S.ABC.

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. KHi đó góc tạo bởi SB và mặt đáy chính là góc SBO do BO là hình chiếu của SO lên (ABC).

Lại có tam giác SBO vuông tại O nên $\widehat{BSO} = 30^{\circ}$.

Vậy $BO =\dfrac{1}{2} SB = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$, $SO = \dfrac{a\sqrt{21}}{2}$

Hạ đường trung tuyến BD, D là trung điểm AC. KHi đó BD cũng là đường cao tam giác ABC.

Vậy $BD = BO . \dfrac{3}{2} = \dfrac{3a\sqrt{7}}{4}$

Gọi cạnh tam giác là x, khi đó, áp dụng Pytago vào tam giác ADB ta có

$BD^2 = AB^2 - AD^2 = x^2 - \dfrac{x^2}{4}$

Vậy $x = \dfrac{a\sqrt{21}}{2}$

Vậy thể tích khối chóp là

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3} . SO . S_{ABC} = \dfrac{1}{3} . \dfrac{a\sqrt{21}}{2} . \dfrac{1}{2} . \dfrac{3a\sqrt{7}}{4} . \dfrac{a\sqrt{21}}{2} = \dfrac{21a^3\sqrt{7}}{32}$