Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD cắt đường cao AH tại K. a, Biết AB=15 cm; AC=20 cm. Tính AD, DC b, Chúng minh: AB ² = BH.BC c, Chứng minh: Δ AKD cân d, Gọi M là trung điểm của KD. Kẻ tia Bx song song với AM, Bx cắt AH tại J. Chứng minh: JA.HK = JH.AD

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC^2=AB^2+AC^2=625$

$\to BC=25$

Vì $DB$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac35$

$\to \dfrac{DA}{DA+DC}=\dfrac3{3+5}$

$\to \dfrac{DA}{AC}=\dfrac38$

$\to AD=\dfrac38AC=\dfrac{15}2$

$\to DC=AC-AD=\dfrac{25}2$

b.Xét $\Delta ABH,\Delta ABC$ có:

Chung $\hat B$ 

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to \Delta BAH\sim\Delta BCA(g.g)$

$\to \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BH}{BA}$

$\to AB^2=BH\cdot BC$

c.Ta có: 

$\widehat{ADK}=\widehat{ADB}=90^o-\widehat{ABD}=90^o-\dfrac12\hat B=90^o-\widehat{KBH}=\widehat{BKH}=\widehat{AKD}$

$\to \Delta AKD$ cân tại $A$

d.Ta có: $\Delta AKD$ cân tại $A, M$ là trung điểm $KD\to AM\perp DK$

Mà $BJ//AM\to BJ\perp BK$

Do $BK$ là phân giác $\widehat{ABH}$

$\to BJ$ là phân giác ngoài đỉnh $B$ của $\Delta ABH$

$\to \dfrac{JA}{JH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{KA}{KH}$

$\to JA\cdot HK=JH\cdot AK=JH\cdot AD$ vì $\Delta AKD$ cân tại $A$