............................................................

`1.`

`(x^2 - x)^2 + (x^2 - x) - 6 = 0`

Đặt `x^2 - x = t`.

`=> t^2 + t - 6 = 0`

`<=> t^2 - 2x + 3t - 6 = 0`

`<=> t.(t-2) + 3.(t - 2) = 0`

`<=> (t+3).(t-2) = 0`

`=>`  \(\left[ \begin{array}{l}t+3 = 0\\t-2=0\end{array} \right.\) 

`<=>`  \(\left[ \begin{array}{l}t=-3\\t=2\end{array} \right.\) 

`=>`  \(\left[ \begin{array}{l}x^2 - x = -3 \\x^2 - x = 2\end{array} \right.\) 

`<=>`  \(\left[ \begin{array}{l}x^2 - x + 3 = 0\\x^2 - x - 2=0\end{array} \right.\) 

`<=>`  \(\left[ \begin{array}{l}x^2 - x + \frac{1}{4} + \frac{11}{4} = 0\\x^2 + x - 2x - 2=0\end{array} \right.\) 

`<=>`  \(\left[ \begin{array}{l}(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4} = 0\\x.(x+1) - 2.(x+1)=0\end{array} \right.\) 

Vì `(x- 1/2)^2 >= 0 => (x-1/2)^2 + 11/4 >= 11/4`

`=>` Vô lý.

`=> (x-2).(x+1) = 0`

`=>`  \(\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x+1=0\end{array} \right.\) 

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x=-1\end{array} \right.\) 

Vậy phương trình có nghiệm: `S in {2;-1}`.

`2.`  Ta có (d): `y = mx + 2` và (P): `y = (x^2)/2`

`a.` 

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

`=> mx + 2 = (x^2)/2`

`<=> (x^2)/2 - mx - 2 = 0`

`<=> x^2 - 2mx - 4 = 0`

Ta có: `Delta' = (-m)^2 - 1.(-4)`

`<=> Delta' = m^2 + 4`

Ta có `m^2 >= 0 => m^2 + 4 >= 4`

`=> Delta' > 0`

`=>` (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

`b.` Ta có (d) cắt trục tung tại G thì `x = 0 => y = 2`.

Vậy tọa độ điểm G là (0;2) `=>` OH `= |2| = 2`

Gọi tọa độ điểm A là `(x_1;y_1)` và điểm B là `(x_2;y_2)`.

Có H và K là hình chiếu của A và B trên trục hoành cho nên:

Ta có HK = OK + OH = `|x_1| + |x_2|`

Áp dụng định lí ta-lét, ta có:

`*) {{:( x_1 + x_2 = 2m ),( x_1 . x_2 = -4):}`

Diện tích tam giác GHK là 4:

`=> 4 = 1/2.`OG.HK

`<=> 4 = 1/2 . 2 . ( |x_1| + |x_2| )`

`<=>  |x_1| + |x_2| = 4`

`<=> (|x_1| + |x_2|)^2 = 16`

`<=> x_1 ^2 + x_2 ^2 - 2.|x_1.x_2| = 16`

`<=> (x_1 + x_2)^2 - 2.x_1.x_2 - 2.|x_1.x_2| = 16`

Ta áp dụng Vi-ét ở trên, ta được:

`=> 4m^2 - 2.(-4) - 2.|-4| = 16`

`<=> 4m^2 = 16 - 8 + 8`

`<=> 4m^2 = 16`

`<=> m^2 = 4`

`<=> m = +- 2` ( đơn vị diện tích )

Vậy `m = +-2` thì diện tích tam giác GHK bằng 4.