Ai giải và chỉ rõ cách làm và hướng của bài này giúp mk với ạ

Đáp án:  ${{\max }_{M}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm 1$

Giải thích các bước giải:

Xét $\dfrac{1}{M}=\dfrac{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$

Với $x\ne 0$,

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số thực dương ${{x}^{2}}$ và $\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$

Ta có ${{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}\cdot \dfrac{1}{{{x}^{2}}}}$

$\to {{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\ge 2$

$\to {{x}^{2}}+1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\ge 3$

$\to \dfrac{1}{M}\ge 3$

$\to M\le \dfrac{1}{3}$

$\to {{\max }_{M}}=\dfrac{1}{3}$

Dấu “=” xảy ra khi ${{x}^{2}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{4}}=1$

$\Leftrightarrow x=\pm 1$

Vậy ${{\max }_{M}}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm 1$