Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm , đường phân giác BI. KẺ IH vuông góc BC (H thuộc BC) . Gọi K là giao điểm AB và IH a) Tính BC? b) Chứng minh tam giác ABI = HBI c) Chứng minh: BI là đường trung trực của đoạn thẳng AH d) Chứng Minh IA < IC e) Chứng Minh I là trực tâm tam giác KBC

`a)`  Xét `ΔABC` vuông tại `A` `,` theo định lí Py - ta - go `,` ta có `:`

`AB^2 + AC^2 = BC^2`

Thay `:` `AB = 6  ;  AC = 8`

`=> BC^2 = 6^2 + 8^2`

`=> BC^2 = 100`

Mà `:` `BC > 0`

`=> BC^2 = 10^2`

`=> BC^2 = 10 (  cm  )`

`b)`

 Vì `BI` là tia phần giác của $\widehat{ABH}$

`=>` $\widehat{ABI}$ `=` $\widehat{HBI}$

Vì `IH ⊥ BC` tại `H`

`=>` $\widehat{IHB}$ `=` $90^\circ$

Vì `ΔABC` vuông tại `A` 

`=>` $\widehat{IAB}$ `=` $90^\circ$

Xét `ΔABI` và `ΔHBI` có `:`

$\widehat{IAB}$ `=` $\widehat{IHB}$ `=` $90^\circ$

`IB` là cạnh chung

$\widehat{ABI}$ `=` $\widehat{HBI}$

`=>` `ΔABI` `=` `ΔHBI` `(` cạnh huyền `-` góc nhọn `)`

`c)`

Vì `ΔABI` `=` `ΔHBI`

`=>` `BA = BH (` `2` cạnh tương ứng `)`

`=> ΔABH` cân tại `B`

Mà `BI` là tia phân giác xuất phát từ đỉnh `B` của `ΔABH`

`=>` `BI` đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng `AH`

`d)`

Vì `ΔABI` `=` `ΔHBI`

`=>` `IA = IH (` `2` cạnh tương ứng `)`

Xét `ΔIHC` vuông tại `H`

Mà `IC` là cạnh huyền của `ΔIHC`

`=>` `IC > IH`

Mà `IH = IA`

`=> IC > IA`

`e)`

Vì $\widehat{IAB}$ `=` $90^\circ$

`=>` `IA ⊥ BK` tại `A`

Mà `C ∈ AI`

`=> CA ⊥ BK` tại `A`

`=>` `CA` là đường cao xuất phất từ đỉnh `C` của `ΔBKC` `( 1 )`

Vì `IH ⊥ BC` tại `H`

Mà `K ∈ IH`

`=> KH ⊥ BC` tại `H` 

`=>` `KH` là đường cao xuất phất từ đỉnh `K` của `ΔBKC` `( 2 )`

Mà `CA` và `KH` cắt nhau tại `I` `( 3 )`

Từ `( 1 ) ; ( 2 )` và `( 3 )`

`=>` Điểm `I` là trực tâm của tam giác `BKC`