Cho tam giác ABC vuông tại A có AB > AC. M là điểm tùy ý trên BC. Qua M kẻ tia Mx vuông góc BC và cắt AB tại I, cắt tia CA tại D. a.Tam giác ABC đồng dạng tam giác MDC. b. BI.BA = BM.BC. c.CI cắt BD tại K. Chứng minh BI.BA=CI. CK không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. d.Cho góc ACB=60 độ. Tính tỉ số của SCMA với SCDB. Cần giải gấp nhất là câu d ạ

Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔABC` và `ΔMDC` có:

`\hat{BAC}=\hat{DMC}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A; DM⊥BC)`

`\hat{ACB}`: chung

`=>`  $ΔABC\backsimΔMDC$ (g.g)

b) Xét `ΔBIM` và  `ΔBCA` có:

`\hat{BMI}=\hat{BAC}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A; IM⊥BC)`

`\hat{ABC}`: chung

`=>` $ΔBIM\backsimΔBCA$ (g.g)

`=> \frac{BI}{BC}=\frac{BM}{BA} => BI.BA=BM.BC`

c) Xét `ΔBDC` có hai đường cao `BA` và `DM` cắt nhau tại `I`

`=> I` là trực tâm `ΔBDC => CK ⊥BD`

Xét `ΔCIM` và `ΔCBK` có:

`\hat{CMI}=\hat{CKB}=90^0 (IM⊥BC; CK⊥BD)`

`\hat{BCK}`: chung

`=>` $ΔCIM\backsimΔCBK$ (g.g)

`=> \frac{CI}{BC}=\frac{CM}{CK} => CI.CK=CM.BC`

mà `BI.BA=BM.BC`

`=> BI.BA+CI.CK=BM.BC+CM.BC=(BM+CM).BC=BC.BC=BC^2` (Không đổi)

Vậy `BI.BA+CI.CK` không phụ thuộc vào vị trí của điểm `M`

d) Gọi `H` là trung điểm của `BC`

`=> AH` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của `ΔABC`

`=> AH=1/2  BC = BH = CH`

`=> ΔACH` cân tại `H`

lại có `\hat{ACB}=60^0 => ΔACH` đều `=> CH=AC`

mà `CH=1/2 BC => AC=1/2 BC => \frac{AC}{BC}=1/2` 

$ΔMDC\backsimΔABC$ `=> \frac{MC}{AC}=\frac{DC}{BC} => \frac{MC}{DC}=\frac{AC}{BC}`

Xét `ΔCMA` và `ΔCDB` có:

`\frac{MC}{DC}=\frac{AC}{BC}`

`\hat{BCD}`: chung

`=>` $ΔCMA\backsimΔCDB$ (g.g)

Tỉ số đồng dạng `k = \frac{AC}{BC}=1/2`

`=>` Tỉ số của `S_{CMA}` với `S_{CDB}` là `(1/2)^2 = 1/4`