Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I . Lấy các điểm M và N sao cho BC là trung trực của đoạn thẳng IM và AC là trung trực của đoạn thẳng IN. a)Tinh số đo của góc BIC. b)Chứng minh rằng các tam giác IDC và NDC bằng nhau. c)Chứng minh rằng ba điểm D, M, N thẳng hàng mọi người giải nhanh hộ mình nhé mình vote cho nha.

Bài làm:

`a)` Vì `\triangle\text{ABC}` vuông cân tại `\text{A}` nên `\hat\text{ABC}=\hat\text{ACB}=45^{\text{o}}`

Xét `\triangle\text{ABC}` có`:`

`\hat\text{ABC}+\hat\text{ACB}=90^\text{o}` `(`Tổng hai góc trong một tam giác vuông`)`

`=>2.(1/2\hat\text{ABC}+1/2\hat\text{ACB})=90^\text{o}`

`=>\hat\text{IBC}+\hat\text{ICB}=45^\text{o}`

Xét `\triangle\text{IBC}` có`:`

`\hat\text{IBC}+\hat\text{ICB}+\hat\text{BIC}=180^\text{o}` `(`Tổng ba góc trong một tam giác`)`

Hay `45^\text{o}+\hat\text{BIC}=180^\text{o}`

`=>\hat\text{BIC}=180^\text{o}-45^\text{o}=135^\text{o}`

Vậy `\hat\text{BIC}=135^\text{o}`

`b)` Vì `\text{C},\text{D}\in\text{AC}`

Mà `\text{AC}` là đường trung trực của `\text{IN}`

Nên `\text{DI}``=``\text{DN}` và `\text{CI}``=``\text{CN}`

Xét `\triangle\text{IDC}` và `\triangle\text{NDC}` có`:`

`\text{DI}``=``\text{DN}` `(\text{cmt})`

`\text{CI}``=``\text{CN}` `(\text{cmt})`

`\text{CD}` cạnh chung

`=>``\triangle\text{IDC}=\triangle\text{NDC}` `(\text{c.c.c})`

`c)` Gọi `\text{H,K,F}` lần lượt là giao điểm của ba cặp đường thẳng `\text{AC}` và `\text{IN, BC}` và `\text{IM},``\text{EC}` và `\text{MN}`

Xét `\triangle\text{HIC}` vuông tại `\text{H}` có`:`

`\hat\text{HIC}+\hat\text{HCI}=90^\text{o}` `(`Tổng hai góc trong một tam giác vuông`)`

Hay `22,5^\text{o}+\hat\text{HIC}=90^\text{o}`

`=>\hat\text{HIC}=90^\text{o}-22,5^\text{o}=67,5^\text{o}`

`=>\hat\text{NIF}=67,5^\text{o}` `(1)`

Xét `\triangle\text{IKC}` vuông tại `\text{K}` có`:`

`\hat\text{KIC}+\hat\text{KCI}=90^\text{o}` `(`Tổng hai góc trong một tam giác vuông`)`

Hay `\hat\text{KIC}+22,5^\text{o}=90^\text{o}`

`=>\hat\text{KIC}=90^\text{o}-22,5^\text{o}=67,5^\text{o}`

`=>\hat\text{MIF}=67,5^\text{o}` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra`:` `\hat\text{NIF}=\hat\text{MIF}(=67,5^\text{o})`

Áp dụng tính chất ba đường phân giác vào `\triangle\text{ABC}` ta được`:` `\text{IH}=\text{IK}`

Lại có`:` `{(\text{IH = HN}),(\text{IK = KM}):}`

Suy ra`:` `\text{IH = HN = IK = KM}`

`=>\text{ IH + HN = IK + KM}`

Hay `\text{IN = IM}`

Xét `\triangle\text{INF}` và `\triangle\text{IMF}` có`:`

`\text{IN = IM}` `(\text{cmt})`

`\hat\text{NIF}=\hat\text{MIF}(=67,5^\text{o})`

`\text{IF}` cạnh chung

`=>``\triangle\text{INF}=\triangle\text{IMF}` `(\text{c.g.c})`

`=>``\hat\text{IFN}=\hat\text{IFM}` `(`Hai góc tương ứng`)`

Mà `\hat\text{IFN}+\hat\text{IFM}=180^\text{o}` `(`Hai góc kề bù`)`

`=>``\hat\text{IFN}=\hat\text{IFM}=90^\text{o}`

Suy ra`:` `{(\text{EC}\bot\text{FN}),(\text{EC}\bot\text{FM}):}`

Từ `\triangle\text{IDC}=\triangle\text{NDC}` `(\text{cmt})`

`=>``\hat\text{IDC}=\hat\text{NDC}` `(`Hai góc tương ứng`)` `(3)`

Xét `\triangle\text{IDC}` có`:`

`\hat\text{BIC}=\hat\text{IDC}+\hat\text{ICD}` `(`Tính chất góc ngoài của một tam giác`)`

Hay `135^\text{o}=\hat\text{IDC}+22,5^\text{o}`

`=>``\hat\text{IDC}=135^\text{o}-22,5^\text{o}=112,5^\text{o}` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` suy ra`:` `\hat\text{IDC}=\hat\text{NDC}=112,5^\text{o}` `(5)`

Xét `\triangle\text{FDC}` vuông tại `\text{F}` có`:`

`\hat\text{FDC}+\hat\text{FCD}=90^\text{o}` `(`Tổng hai góc trong một tam giác vuông`)`

Hay `\hat\text{FDC}+22,5^\text{o}=90^\text{o}`

`=>\hat\text{FDC}=90^\text{o}-22,5^\text{o}=67,5^\text{o}` `(6)`

Từ `(5)` và `(6)` suy ra`:` `\hat\text{NDC}+\hat\text{FDC}=112,5^\text{o}+67,5^\text{o}=180^\text{o}`

Suy ra`:` `\text{N, D, F}` thẳng hàng

Mà `\text{M, F, N}` thẳng hàng `(`Vì `\text{F}` là giao điểm của `\text{MN}` và `\text{EC}``)`

Suy ra`:` `\text{D, M, N}` thẳng hàng `(\text{đpcm})`