.........................................

`a)` Hình thang `ABCD` có đáy lớn `CD` (gt)

`=>AB`//$CD$

`=>\hat{BAF}=\hat{ICF}` (hai góc so le trong)

`\qquad \hat{ABE}=\hat{KDE}` (hai góc so le trong)

$\\$

Xét `\Delta AFB` và `\Delta CFI` có:

`\qquad \hat{AFB}=\hat{CFI}` (hai góc đối đỉnh)

`\qquad \hat{BAF}=\hat{ICF}` (c/m trên)

`=>\Delta A FB` $\backsim$ `\Delta CFI` (g-g) (đpcm)

$\\$

`b)` Xét `\Delta ABE` và `\Delta KDE` có:

`\qquad \hat{AEB} =\hat{KED}` (hai góc đối đỉnh)

`\qquad \hat{ABE}=\hat{KDE}` (c/m trên)

`=>\Delta ABE` $\backsim$ `\Delta KDE` (g-g)

`=>{AB}/{KD}={AE}/{KE}`

`=>AE.KD=AB.EK` (đpcm)

$\\$

`c)` Vì `AB`//$KC; AK$//$BC$

`=>ABCK` là hình bình hành 

`=>AB=KC`

$\\$

Vì `AB`//$DI; AD$//$BI$

`=>ABID` là hình bình hành 

`=>AB=DI`

`=>CI+AB=CI+DI=CD`

$\\$

`\qquad DI=KC=AB`

`=>KD+KI=CI+KI`

`=>KD=CI\ (1)`

$\\$

Vì `\Delta A FB` $\backsim$ `\Delta CFI` (câu a)

`=>{AB}/{CI}={FB}/{FI}={A F}/{CF}` `(2)`

`=>{CI}/{AB}={FI}/{FB}`

`=>{CI}/{AB}+1={FI}/{FB}+1`

`=>{CI+AB}/{AB}={FI+FB}/{FB}`

`=>{CD}/{AB}={IB}/{FB}` (vì `CI+AB=CD)`

`=>{AB}/{CD}={BF}/{BI}` (*)

$\\$

Vì `\Delta ABE` $\backsim$ `\Delta KDE` (câu b)

`=>{AB}/{KD}={AE}/{KE}` $(3)$

$\\$

Từ `(1);(2);(3)=>{AE}/{KE}={A F}/{CF}`

`=>E F`//$KC$ (định lý Talet đảo)

`=>E F`//$DI$

$\\$

Xét `\Delta BDI` có `E F`//$DI$

`=>{E F}/{DI}={BF}/{BI}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{E F}/{AB}={BF}/{BI}` (vì `AB=DI)` (**)

Từ (*);(**)`=>{AB}/{CD}={E F}/{AB}`

`=>AB^2=CD.EF` (đpcm)