Cho các số dương x+y=1. Tìm GTNN của P=1/(x^2+y^2) + 2/(xy) + 4xy

`P = 1/(x^2 + y^2) + 2/(xy) + 4xy`

`= ( 1/(x^2 + y^2) + 1/(2xy) ) + ( 4xy + 1/4xy ) + 5/(4xy)  `

`+) 1/(x^2 + y^2) + 1/(2xy) >= (1 + 1)^2/(x^2 + y^2 + 2xy) = 4/(x + y)^2 = 4/1 = 4`

`+) (x - y)^2 >= 0`

`<=> x^2 - 2xy + y^2 >= 0`

`<=> x^2 + 2xy + y^2 >= 4xy`

`<=> (x + y)^2 >= 4xy`

`<=> 1/(x + y)^2 <= 4xy`

`<=> 5/(x + y)^2 <= 5/(4xy)`

`<=> 5/1 <= 5/(4xy)`

`<=> 5/(4xy) >= 5`

`+) 4xy + 1/(4xy) >= 2\sqrt{4xy . 1/(4xy)} = 2 . 1 = 2`

`=> P >= 4 + 5 + 2 = 13`

Dấu "`=`" xảy ra khi và chỉ khi `x = y = 1/2`