Bài 1: Cho A DEF cân tại D.Lấy H là trung điểm của EF. a) Chứng minh tam giác DEH= tam giác DFH b) Trên tia DH lấy điểm A sao cho H là trung điểm của DA.Chứng minh DE=AF và tam giác đa cân c). Gọi N là trung điểm của AF. Đoạn thẳng DN cắt đoạn thẳng EF tại G.Trên tia đối của tia NG lấy điểm K sao cho NG = NK . Chứng minh G là trọng tâm của triangle ADF v dot a HG = 1/2 AK

a)

Xét $\Delta DEH$ và $\Delta DFH$, ta có:

+   $DH$ là cạnh chung

+   $DE=DF$ (vì $\Delta DEF$ cân tại $D$)

+   $HE=HF$ (vì $H$ là trung điểm $EF$)

Nên $\Delta DEH=\Delta DFH\left( c.c.c \right)$

 

b)

Xét $\Delta DEH$ và $\Delta AFH$, ta có:

+   $HE=HF$ (vì $H$ là trung điểm $EF$)

+   $\widehat{DHE}=\widehat{AHF}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $HD=HA$ (vì $H$ là trung điểm $DA$)

Nên $\Delta DEH=\Delta AFH\left( c.g.c \right)$

Do đó $DE=AF$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $DE=DF$ (vì $\Delta DEF$ cân tại $D$)

$\Rightarrow AF=DF$

$\Rightarrow \Delta DAF$ cân tại $F$

 

c)

Xét $\Delta ADF$ có hai đường trung tuyến $DN,FH$ giao nhau tại $G$

Nên $G$ là trọng tâm của $\Delta ADF$

Do đó $HG=\dfrac{1}{2}FG\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta NFG$ và $\Delta NAK$, ta có:

+   $NF=NA$ (vì $N$ là trung điểm $AF$)

+   $\widehat{NFG}=\widehat{NAK}$ (hai góc đối đỉnh)

+   $NG=NK\left( gt \right)$

Nên $\Delta NFG=\Delta NAK\left( c.g.c \right)$

Do đó $FG=AK$ (hai cạnh tương ứng) $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow HG=\dfrac{1}{2}AK$