cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, vẽ dây cung CD vuông góc với AB( CD không đi qua (O) ), trên tía đối của BA lấy S, SC cắt đường tròn tại M thuộc cung nhỏ BC a) Chứng minh tam giác SMA đồng dạng với tam giác SBC b) gọi H là giao điểm của MA và BC, K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh tứ giác BMHK nội tiếp và HK // CD c) chứng minh OK.OS=R bình phương LÀM GIÚP MÌNH Ý C VỚI NHÉ. MÌNH CẢM ƠN

a) Xét $\Delta SMA$ và $\Delta SBC$ có:

$\widehat S$ chung

$\widehat{SAM}=\widehat{SCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB của (O))

$\Rightarrow\Delta SMA\sim\Delta SBC$ (g.g)

b) Do $CD\bot AB$ (giả thiết) $\Rightarrow AB$ là đường trung trực của $CD$ (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

$\Rightarrow AC=AD$ (tích chất đường trung trực)

$\Rightarrow$ cung $AC=$ cung $AD$ (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{ABC}$ (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{KMH}$ mà hai góc này cùng nhìn cạnh HK

$\Rightarrow BMHK$ nội tiếp

c) Kẻ đường kính $MN$

Xét $\Delta AON$ và $\Delta BOM$ có:

$OA=OB=R$

$\widehat{AON}=\widehat{BOM}$ (đối đỉnh)

$ON=OM=R$

$\Rightarrow\Delta AON=\Delta BOM$ (c.g.c)

$\Rightarrow AN=BM$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

cung $AN=$ cung $BM$ (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Ta có:

$\widehat{ASC}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}-sđ\stackrel\frown{BM}}2$ (tích chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn) (1)

$\widehat{NMD}=\dfrac12\stackrel\frown{DN}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\widehat{NMD}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AD}-sđ\stackrel\frown{AN}}2$ (2)

Mà $\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{AD}$ (3)

$\stackrel\frown{AN}=\stackrel\frown{MB}$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\widehat{ASC}=\widehat{NMD}$ hay $\widehat{OMK}=\widehat{OSM}$

Xét $\Delta OKM$ và $\Delta OMS$  có:

$\widehat{MOS}$ chung

$\widehat{OMK}=\widehat{OSM}$ (cmt)

$\Rightarrow\Delta OKM\sim\Delta OMS$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{OK}{OM}=\dfrac{OM}{OS}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow OK.OS=OM^2=R^2$.