Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. a. Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp. b. Chứng minh BD.BC = BH.BE. c. Kẻ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh D là trung điểm của MH. d. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R

`a)` Ta có:

`\hat{BFH}+\hat{BDH}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{BFH};\hat{BDH}` ở vị trí đối nhau

`=>BFHD` nội tiếp

$\\$

`\hat{BFC}=\hat{BEC}=90°`

`=>` Hai đỉnh `F;E` cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông

`=> BFEC` nội tiếp

$\\$

`b)` Xét $∆BDH$ và $∆BEC$ có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad \hat{BDH}=\hat{BEC}=90°`

`=>∆BDH∽∆BEC` (g-g)

`=>{BD}/{BE}={BH}/{BC}`

`=>BD.BC=BH.BE` (đpcm)

$\\$

`c)` Ta có:

 `\hat{DAC}=\hat{EBC}` (cùng phụ `\hat{ACD})`

`\hat{DAC}=\hat{MBC}` (góc nội tiếp chắn cung $MC)$

`=>\hat{EBC}=\hat{MBC}`

`=>BD` là phân giác của `\hat{MBH}`

Mà $BD\perp MH$

`=>BD` vừa là phân giác và đường cao của `∆MBH`

`=>∆MBH` cân tại $B$

`=>BD` cũng là đường trung trực, trung tuyến của `∆MBH`

`=>D` là trung điểm $MH$ (đpcm)

$\\$

`d)` Gọi `I` là điểm đối xứng của `O` qua `BC` `(1)`

`=>BC` là đường trung trực $OI$

`=>IB=OB=R; IC=OC=R`

$\\$

Vì `BD` là trung trực của $MH$

`=>BC` là trung trực của `MH`

`=>H` và `M` đối xứng qua `BC` `(2)`

$\\$

Từ `(1);(2)=>IH` và `OM` đối xứng qua `BC`

`=>IH=OM=R` (hai đoạn thẳng đối xứng qua `1` đường thẳng thì chúng bằng nhau sgk8T1/85)

$\\$

`=>IB=IC=IH=R`

`=>` Đường tròn `(I;R)` ngoại tiếp $∆BHC$

`=>` Độ dài đường tròn ngoại tiếp $∆BHC$ là: `C=2πR`