Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm P, Q sao cho AP=AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh: a)Tam giác OBC là tam giác cân b)AO là tia phân giác của góc BAC c)AO đi qua trung điểm của BC và vuông góc với nó

Đáp án:

a)Ta có:

AB = AP + BP

AC = AQ + CQ

mà AB=AC; AP=AQ (gt)

⇒BP = CQ

Xét ΔPBC và ΔQCB có:

PB=QC(cmt)

$\widehat{PBC}$=$\widehat{QCB}$(ΔABC cân tại A)

BC chung

⇒ΔPBC=ΔQCB(c.g.c)

⇒$\widehat{BCP}$=$\widehat{CBQ}$ (2 góc tương ứng)

Xét ΔOBC có: $\widehat{BCP}$=$\widehat{CBQ}$(cmt)

⇒ΔOBC cân tại O

b)Vì ΔOBC cân tại O(cmt)

⇒OB=OC

Xét ΔABO và ΔACO có:

AB=AC(gt)

BO=CO(cmt)

AO chung

⇒ΔABO=ΔACO(c.c.c)

⇒$\widehat{BAO}$=$\widehat{CAO}$

⇒AO là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

c)Gọi D là trung điểm của BC

Xét ΔABD và ΔACD có:

AB=AC(gt)

BD=CD(gt)

AD chung

⇒ΔABD=ΔACD(c.c.c)

⇒$\widehat{ADB}$=$\widehat{ADC}$ (2 góc tương ứng)mà $\widehat{ADB}$ và $\widehat{ADC}$ ở vị trí kề bù⇒$\widehat{ADB}$=$\widehat{ADC}$=$\dfrac{180}{2}$=$90^\circ$(1)

⇒$\widehat{BAD}$=$\widehat{CAD}$(2 góc t/ư)⇒AD là phân giác góc BAC mà AO cũng là phân giác góc BAC⇒O$\in$AD(2)

Từ (1) và (2)⇒AO đi qua trung điểm của BC và vuông góc với nó