cho hình chóp SABC trong đó SA vuông góc (ABC) SC=a và đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh C. Gọi anpha là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). khi thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn nhất thì sin2a bằng

Đáp án: $ \sin2\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $AC=x,x>0$

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $C\to CA=CB, CB\perp AB$

Ta có $SA\perp ABC\to SA\perp AC$

$\to SA=\sqrt{SC^2-AC^2}=\sqrt{a^2-x^2}$

$\to V_{SABC}=\dfrac13\cdot SA\cdot \dfrac12\cdot AC\cdot BC=\dfrac16\cdot SA\cdot AC^2$

$\to V_{SABC}=\dfrac16\cdot \sqrt{a^2-x^2}\cdot x^2$

Đặt $f\left(x\right)=\sqrt{a^2-x^2}\cdot x^2$

$\to f'\left(x\right)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot x^2+\sqrt{a^2-x^2}\cdot 2x$

$\to f'\left(x\right)=0$

$\to \dfrac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot x^2+\sqrt{a^2-x^2}\cdot 2x=0$

$\to \dfrac{-1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot x^2+\sqrt{a^2-x^2}=0$

$\to x^2-2\left(a^2-x^2\right)=0$

$\to 3x^2=2a^2$

$\to x=\sqrt{\dfrac23}a$

$\to $Hàm số đạt cực đại tại $x=\sqrt{\dfrac23}a$

$\to f\left(x\right)\le \dfrac{2a^3}{3\sqrt{3}}$

$\to V_{SABC}\le \dfrac16\cdot \dfrac{2a^3}{3\sqrt{3}}$

$\to V_{SABC}\le \dfrac{a^3\sqrt{3}}{27}$

Dấu = xảy ra khi $x=\sqrt{\dfrac23}a$

Ta có $AC\perp BC, SA\perp BC\to BC\perp SAC$

$\to \widehat{SBC,ABC}=\widehat{SCA}$

$\to \cos\widehat{SCA}=\dfrac{CA}{SC}=\sqrt{\dfrac23}$

$\to \widehat{SCA}=\arccos\left(\sqrt{\dfrac23}\right)$

$\to \alpha=\arccos\left(\sqrt{\dfrac23}\right)$

$\to \sin2\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$