Chứng minh rằng 1/3+1/7+1/13+1/21+1/31+1/43+1/57+1/73+1/91<1

$#FWC$

Đặt `Z= 1/3 + 1/7 + 1/13 + 1/21 + 1/31 + 1/43 + 1/57 + 1/73 + 1/91`

Ta có:  `1/3 < 1/2 `, ` 1/7 < 1/6 `, ` 1/13 < 1/12 `, `1/21<1/20`, `1/31<1/30`, `1/43<1/42`, `1/57<1/56`, `1/73<1/72` và `1/91<1/90`

Từ đó, ta được biểu thức:

` Z < 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 `

Đặt `Y=1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 `, ta có: 

`Y=1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90 `

` = 1/{1. 2} + 1/{2. 3} + 1/{3. 4} + 1/{4. 5} + 1/{5. 6} + 1/{6. 7} + 1/{7. 8} + 1/{8. 9} + 1/{9. 10} `

` = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 - 1/6 + 1/6 - 1/7 + 1/7 - 1/8 + 1/8 - 1/9 + 1/9 - 1/10 `

`=1+(1/2-1/2)+(1/3-1/3)+(1/4-1/4)+(1/5-1/5)+(1/6-1/6)+(1/7-1/7)+(1/8-1/8)+(1/9-1/9)-1/10`

`1+0+0+0+0+0+0+0+0-1/10`

(`2` số đối nhau cộng nhau bằng `0`)

` = 1 - 1/10 `

` = 9/10 `

Mà ` 9/10 < 1` (hiển nhiên) nên `Z<Y` `=>` `Z < 1 `

Hay `1/3 + 1/7 + 1/13 + 1/21 + 1/31 + 1/43 + 1/57 + 1/73 + 1/91 < 1 ` (điều phải chứng minh)