Chứng minh với mọi số dương `a,b,c` ta có: `(a + b - c).(b + c - a).(c + a - b) <= abc`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $b+c-a=2x;a+c-b=2y;a+b-c=2z$

$\Rightarrow a=y+z;b=x+z;c=x+y$.

Khi đó, ta cần chứng minh $8xyz\le \left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$x+y\ge 2\sqrt{xy}$

$y+z\ge 2\sqrt{yz}$

$z+x\ge 2\sqrt{zx}$

Nhân vế với vế, ta có:

$\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)\ge 2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz$$\Rightarrow$ĐPCM

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow a=b=c$.