Cho tam giác BFC cân tại B .kẻ FE vuông góc với BC tại E CA vuông góc với BF tại A. a.Chứng minh∆BEF = ∆BAC. b.FE cắt CA tại D. Chứng minh BD là phân giác của góc ABC. c.Gọi M là trung điểm của FC.Chứng minh BM vuông góc với AE.

a) Xét hai tam giác vuông $\Delta BEF$ và $\Delta BAC$ có:

$BF=BC$ (do $\Delta BFC$ cân đỉnh B)

$\widehat B$ chung

$\Rightarrow \Delta BEF=\Delta BAC$ (cạnh huyền-góc nhọn).

b) $\Delta BEF=\Delta BAC\Rightarrow\widehat{BFE}=\widehat{BCA}$ (hai tương ứng)

Mà $\Delta BFC$ cân đỉnh $B$ nên: $\widehat{BFC}=\widehat{BCF}$

$\widehat{BFC}-\widehat{BFE}=\widehat{BCF}-\widehat{BCA}$

$\Rightarrow\widehat{EFC}=\widehat{ACF}$ hay $\widehat{DFC}=\widehat{DCF}\Rightarrow\Delta DFC$ cân đỉnh $D\Rightarrow DF=DC$

Xét $\Delta BFD$ và $\Delta BCD$ có:

$BF=BC$ (giả thiết)

$BD$ chung

$DF=DC$ (cmt)

$\Rightarrow\Delta BFD=\Delta BCD$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{FBD}=\widehat{CBD}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow BD$ là phân giác $\widehat{FBC}$.

c) $\Delta BEF=\Delta BAC\Rightarrow BE=BA$

$\Rightarrow BF-BA=BC-BE$ hay $AF=EC$

Xét $\Delta AFM$ và $\Delta ECM$ có:

$FM=CM$ (do M là trung điểm cạnh FC)

$\widehat{AFM}=\widehat{ECM}$ (giả thiết)

$AF=EC$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AFM=\Delta ECM$ (c.g.c)

$\Rightarrow MA=ME$ lại có $BA=BE\Rightarrow MB$ là trung trực của $AE$

$\Rightarrow MB\bot AE$.