Với các số thực không âm TM : `ab + bc + ac + abc = 4`. Tìm GTNN : `P = sqrta + sqrtb + sqrtc`

`\forall a \ge 0` thì ta có :

`\sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{2})^2 \ge 0`

`<=> \sqrt{a} (a - 2 \sqrt{2} . \sqrt{a} + 2) \ge 0`

`<=> \sqrt{a} (a + 2) - 2 \sqrt{2} a \ge 0`

`<=> \sqrt{a} (a + 2) \ge 2 \sqrt{2} a`

`<=> \sqrt{a} \ge (2 \sqrt{2}a)/(a+2)`

Tương tự ta có :

` \sqrt{b} \ge (2 \sqrt{2}b)/(a+2)`

` \sqrt{c} \ge (2 \sqrt{2}c)/(a+2)`

Do đó ta có :

`\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge (2 \sqrt{2}a)/(a+2) + (2 \sqrt{2}b)/(b+2) + (2 \sqrt{2}c)/(c+2)`

`=> P \ge 2 \sqrt{2} (a/(a+2) + b/(b+2) +c/(c+2))`

`=> P \ge 2 \sqrt{2} ( (a + 2 - 2)/(a+2) + (b + 2 - 2)/(b+2) + (c + 2 - 2)/(c+2) )`

`=> P \ge 2 \sqrt{2} (1 - 2/(a+2) + 1 - 2/(b+2) + 1 - 2/(c+2))`

`=> P \ge 2 \sqrt{2} [3  - (2/(a+2) + 2/(b+2) + 2/(c+2)) ]`

`=> P \ge 2 \sqrt{2} [3  - 2 . (1/(a+2) + 1/(b+2) + 1/(c+2)) ]`

Đặt `A =  1/(a+2) + 1/(b+2) + 1/(c+2)`

`= ( (b+2)(c+2) + (a+2)(c+2) + (a+2)(b+2) )/((a+2)(b+2)(c+2))`

`=  (bc + 2b + 2c + 4 + ac + 2a + 2c + 4 + ab + 2a +2b +4)/( (ab + 2a + 2b + 4)(c+2) )`

`=  (ab + bc + ac + 4a + 4b + 4c + 8 + 4)/(abc + 2ab + 2ac + 4a + 2bc + 4b + 4c + 8)`

Mà `ab + bc + ac + abc = 4` nên :

`A = ( ab + bc + ac + 4a + 4b + 4c + 8 + ab + bc + ac + abc)/(abc + 2ab + 2ac + 4a + 2bc + 4b + 4c + 8)`

`=  (abc + 2ab + 2ac + 4a + 2bc + 4b + 4c + 8)/(abc + 2ab + 2ac + 4a + 2bc + 4b + 4c + 8) `

`=  1`

`=> A = 1/(a+2) + 1/(b+2) + 1/(c+2)= 1 (2)`

Từ `(1) ; (2)` suy ra :  `P \ge 2 \sqrt{2} (3 - 2 . 1)`

`=> P \ge 2 \sqrt{2}`

Dấu `=` xảy ra `<=> (a;b;c) = (0;2;2)` và các hoán vị của chúng.

Vậy `\text{Min}_P = 2 \sqrt{2} <=> (a;b;c) = (0;2;2)` và các hoán vị của chúng.