Cho tam giác ABC, biết đỉnh A(4; -1) , phương trình đường cao BH : 2x-3y+12=0 và trung tuyến BM 2x+3y=0. Viết phương trình cạnh AB và BC

Đáp án:

$AB:3x+7y-5=0$

$BC:9x+11y+5=0$

 

Giải thích các bước giải:

Giả thiết:

$A\left( 4;-1 \right)$

$BH:2x-3y+12=0$

$BM:2x+3y=0$

……………………..

Ta có đường cao $BH\bot AC$

Nên $AC$ có VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{AC}}}=\left( 3;2 \right)$

Và $AC$ đi qua $A\left( 4;-1 \right)$

$\Rightarrow AC:3\left( x-4 \right)+2\left( y+1 \right)=0$

$\Rightarrow AC:3x+2y-10=0$

 

Với $B=BH\cap BM$

$\Rightarrow $tọa độ $B$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases}2x-3y+12=0\\2x+3y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-3\\y=2\end{cases}\Rightarrow B\left(-3;2\right)$

 

Với $M=AC\cap BM$

$\Rightarrow $tọa độ $M$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases}3x+2y-10=0\\2x+3y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=6\\y=-4\end{cases}\Rightarrow M\left(6;-4\right)$

 

Mà $M$ là trung điểm $AC$

Nên $\begin{cases}x_C=2x_M-x_A=2.6-4=8\\y_C=2y_M-y_A=2.\left(-4\right)+1=-7\end{cases}\Rightarrow C\left(8;-7\right)$

 

Với $A\left( 4;-1 \right)$ và $B\left( -3;2 \right)$ và $C\left( 8;-7 \right)$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -7;3 \right)$ và $\overrightarrow{BC}=\left( 11;-9 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{AB}}}=\left( 3;7 \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{BC}}}=\left( 9;11 \right)$ lần lượt là VTPT của $AB$ và $BC$

$\Rightarrow AB:3\left( x-4 \right)+7\left( y+1 \right)=0$  và  $BC:9\left( x+3 \right)+11\left( y-2 \right)=0$

$\Rightarrow AB:3x+7y-5=0$  và  $BC:9x+11y+5=0$