Cho `x,y,z` là các số dương thỏa mãn: `{2y+z-x}/x={2z-y+x}/y={2x+y-z}/{z}`. Tính `P={(3x-2y)(3y-2z)(3z-2x)}/{(3x-z)(3y-x)(3z-y)}`

Answer

Ta có:

`{2y + z - x}/x = {2z - y + x}/y = {2x + y - z}/z`

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

`{2y + z - x}/x = {2z - y + x}/y = {2x + y - z}/z = {2y + z - x + 2z - y + x + 2x + y - z}/{x + y + z} = {2x + 2y + 2z}/{x + y + z} = {2 . (x + y + z)}/{x + y + z} = 2`

`=> {2y + z - x}/x = {2z - y + x}/y = {2x + y - z}/z = 2` 

`=>` `{(2y + z - x = 2x),(2z - y + x = 2y),(2x + y - z = 2z):}`

`=>` `{(2y + z = 3x),(2z + x = 3y),(2x + y = 3z):}` `(1)`

Thay `(1)` vào `P` ta có:

`P = {(3x - 2y) . (3y - 2z) . (3z - 2x)}/{(3x - z) . (3y - x) . (3z - y)}`

`P = {(2y + z - 2y) . (2z + x - 2z) . (2x + y - 2x)}/{(2y + z - z) . (2z + x - x) . (2x + y - y)}`

`P = {z . x . y}/{2y . 2z . 2x}`

`P = {xyz}/{(2 . 2 . 2) . xyz}`

`P = 1/8`

Vậy `P = 1/8` tại `{2y + z - x}/x = {2z - y + x}/y = {2x + y - z}/z.`