Cho phương trình $(m-1)x^2+2x-3=0$ $(1)$ (tham số $m$) $a)$ Tìm $m$ để $(1)$ có nghiệm. $b)$ Tìm $m$ để $(1)$ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. $c)$ Tìm $m$ để $(1)$ có nghiệm bằng $2$. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại (nếu có).

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a,`

Để phương trình `(1)`: `(m-1)x^2+2x-3=0` có nghiệm khi: 

`Δ=b^2-4ac>=0`

`<=>2^2-4(m-1)*(-3)>=0`

`<=>4+12(m-1)>=0`

`<=>12(m-1)>=-4`

`<=>m-1>=-1/3`

`<=>m>=2/3`

Vậy: để phương trình `(1)` có nghiệm thì `m>=2/3`

`b,` 

Phương trình `(1)` có nghiệm duy nhất khi:

`+)` `a=0` và `b `$\neq$ `0`

`<=>` $\left \{ {{m-1=0} \atop {b\neq0(luôn đúng)}} \right.$ 

`<=>` $m=1$ 

`+)` `Δ=0` và `a `$\neq$ `0`

`<=>` $\left \{ {{4+12(m-1)=0} \atop {m-1\neq0}} \right.$ 

`<=>` $\left \{ {{m=\frac{2}{3}} \atop {m\neq1}} \right.$

Phương trình `(1)` có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi `m=1` hoặc `m=2/3`

`c,`

Phương trình `(1)` có nghiệm bằng `2` `<=>x=2` thay vào phương trình `(1)` ta có:

`(m-1)*2^2+2*2-3=0`

`<=>4(m-1)+1=0`

`<=>4m-3=0`

`<=>m=3/4(TM)`

Với `m=3/4` phương trình `(1)` ta có:

`(3/4-1)x^2+2x-3=0`

`<=>-1/4x^2+2x-3=0`

`<=>-x^2+8x-12=0`

`<=>x^2-8x+12=0`

`<=>x^2-6x-2x+12=0`

`<=>(x-2)(x-6)=0`

`=>` \(\left[ \begin{array}{l}x-2=0\\x-6=0\end{array} \right.\) `<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=6\end{array} \right.\)

Vậy để phương trình `(1)` có nghiệm bằng `2` thì `m=3/4`

      Phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt `x_1=2;x_2=6`