Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA,KB và cát tuyến KCD với đường tròn. M là giao điểm của OK và AB.Kẻ OH vuông góc CD cắt AB ở E.CMR: a) CMOE là tứ giác nội tiếp b) CE,DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

a)

Ta có:

+   $KA=KB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+   $OA=OB=R$

Nên $OK$ là đường trung trực của $AB$

$\to OK\bot AB$ tại giao điểm $M$

Xét $\Delta KAO$ vuông tại $A$ có đường cao $AM$

$\to K{{A}^{2}}=KM.KO$ (hệ thức lượng)

 

Xét $\Delta KAC$ và $\Delta KDA$, ta có:

+   $\widehat{AKC}$ là góc chung

+   $\widehat{KAC}=\widehat{KDA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

Nên $\Delta KAC\backsim\Delta KDA\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{KA}{KD}=\dfrac{KC}{KA}\to K{{A}^{2}}=KC.KD$

Mà $K{{A}^{2}}=KM.KO\left( cmt \right)$

$\to KC.KD=KM.KO$

$\to \dfrac{KC}{KO}=\dfrac{KM}{KD}$

 

Xét $\Delta KCM$ và $\Delta KOD$, ta có:

+   $\widehat{CKM}$ là góc chung

+   $\dfrac{KC}{KO}=\dfrac{KM}{KD}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta KCM\backsim\Delta KOD\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{KCM}=\widehat{KOD}$

$\to CMOE$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)

 

b)

Xét $\Delta OHK$ và $\Delta OME$, ta có:

+   $\widehat{HOK}$ là góc chung

+   $\widehat{OHK}=\widehat{OME}=90{}^\circ $

Nên $\Delta OHK\backsim\Delta OME\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{OH}{OM}=\dfrac{OK}{OE}$

$\to OH.OE=OM.OK$

Mà $\begin{cases}O{{A}^{2}}=OM.OK\\OA=OC=OD\end{cases}$

Nên $O{{C}^{2}}=O{{D}^{2}}=OH.OE$

 

Xét $\Delta OCE$ và $\Delta OHC$, ta có:

+   $\widehat{COE}$ là góc chung

+   $\dfrac{OC}{OH}=\dfrac{OE}{OC}$ (vì $O{{C}^{2}}=OH.OE$)

$\to \Delta OCE\backsim\Delta OHC\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{OCE}=\widehat{OHC}=90{}^\circ $

$\to CE$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

Tương tự, $DE$ cũng là tiếp tuyến của $\left( O \right)$