Cho tam giác ABC vuông tại A. AB=3cm;BC=5cm. Lấy điểm D trên BC sao cho BD=BA .Từ D kẻ đường thẳng cắt AC tại M và vuông góc tại D , cắt AB tại N a) tính AC và so sánh các góc của tam giác ABC b)cm: MD = MA và tam giác MNC cân c) Lấy I là trung điểm của CN . Chứng minh 3 điểm B , M , I thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` vuông tại `A`

`=> AB^2+AC^2=BC^2` (định lý pytago)

`=> AC^2=BC^2-AB^2=5^2-3^2=16 => AC=4cm`

`ΔABC` có: `AB<AC<BC (3cm<4cm<5cm)`

`=> \hat{ACB}<\hat{ABC}<\hat{BAC}` (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một `Δ`)

b) Xét `ΔABM` và `ΔDBM` có:

`\hat{BAM}=\hat{BDM}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A; DM⊥BC `tại `M)`

`BM`: cạnh chung

`AB=BD` (gt)

`=> ΔABM=ΔDBM` (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

`=> MA=MD => ΔMAD` cân tại `M`

c) `ΔABM=ΔDBM => \hat{ABM}=\hat{DBM}`

`=> BM` là tia phân giác của `\hat{ABD}`

`=> BM` là tia phân giác của `\hat{NBC}`   (1)

Xét `ΔANM` và `ΔDCM` có:

`\hat{NAM}=\hat{CDM}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A;N∈AB;DM⊥BC)`

`AM=MD` (cmt)

`\hat{AMN}=\hat{AMC}` (đối đỉnh)

`=> ΔANM=ΔDCM` (g.c.g) `=> AN=DC`

mà `BN=AB+AN; BC=BD+DC; AB=BD => BN=BC`

Xét `ΔBNI` và `ΔBCI` có:

`BN=BC` (cmt)

`BI`: cạnh chung

`IN=IC (I` là trung điểm của `CN`)

`=> ΔBNI=ΔBCI` (c.c.c) `=> \hat{NBI}=\hat{CBI}`

`=> BI` là tia phân giác của `\hat{NBC}`  (2)

Từ (1) và (2) `=> B, I, M` thẳng hàng