Cho tam giác ABC (AB nhỏ hơn AC) . Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a, chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp

b, chứng minh 4 điểm B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn.

C, chứng minh AF.AB=AE.AC

Đáp án+giải thích các bước giải:

a, Xét tứ giác CEHD có:

`\hat{HEC}=90^o` (BE là đường cao)

`\hat{HDC}=90^o` (AD là đường cao)

`⇒\hat{HEC}+\hat{HDC}=90+90=180^o` mà hai góc này là hai góc đối nhau

⇒ CEHD là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp)

b, Xét tứ giác BFEC có:

`\hat{BFC}=90^o` (CF là đường cao)

`\hat{BEC}=90^o` (BE là đường cao)

`⇒\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^o`

⇒ BFEC là tứ giác nội tiếp ( hai đỉnh E và F cùng nhìn cạnh còn lại dưới 1 góc bằng nhau)

⇒ Bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn

c, Ta có: BFEC là tứ giác nội tiếp (cmb)

`⇒\hat{FBE}=\hat{ECF}` (hai góc nội tiếp chắn cung EF)

hay `\hat{ABE}=\hat{ACF}`

Xét ΔABE và ΔACF có:

`\hat{A}` là góc chung

`\hat{ABE}=\hat{ACF}` (cmt)

⇒ ΔABE đồng dạng ΔACF (g.g)

`⇒\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}`

`⇔AF.AB=AE.AC`