Chứng tỏ rằng: $M=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+...+\frac{2021}{3^{2021}}$ không có giá trị nguyên.

M=$\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3^{2}}$+ ... +$\frac{1}{3^{100}}$

3M= 1 + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3^{2}}$+ ... +$\frac{1}{3^{99}}$

3M-3=(1 + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3^{2}}$+ ... +$\frac{1}{3^{99}}$)-($\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3^{2}}$+ ... +$\frac{1}{3^{100}}$)

2M= 1 - $\frac{1}{3^{100}}$

2M= $\frac{3^{100} - 1}{3^{100}}$

M = $\frac{3^{100} - 1}{3^{100.2}}$

Vì $\frac{3^{100} - 1}{3^{100.2}}$ < 1

=> M < 1

Vậy phân số M không có giá trị là 1 số nguyên