Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0;2022] để ∀x ∈ [2;4] đều là nghiệm của bất phương trình x² - (m+1)x + m ≤ 0.

Đáp án:   $2019$

 

Giải thích các bước giải:

Xét phương trình ${{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+m=0$

Vì $a+b+c=1-\left( m-1 \right)+m=0$

Nên phương trình có hai nghiệm

$x=1$ hoặc $x=m$

Vậy bất phương trình ${{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+m\le 0$

$\Leftrightarrow x\in \left[ 1;m \right]$   hoặc   $x\in \left[ m;1 \right]$

 

Xét trường hợp $m=1$

BPT $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1\le 0$

$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0$

$\Leftrightarrow x=1$ (không thỏa $\forall x\in \left[ 2;4 \right]$)

Loại $m=1$

 

Xét trường hợp $x\in \left[ m;1 \right]$

Để $\forall x\in \left[ 2;4 \right]$ đều là nghiệm

Thì $\begin{cases}m\le 2\\1\ge 4\end{cases}$ (vô lý)

Loại trường hợp $x\in \left[ m;1 \right]$

 

Xét trường hợp $x\in \left[ 1;m \right]$

Để $\forall x\in \left[ 2;4 \right]$ đều là nghiệm

Thì $\begin{cases}1\le 2\\m\ge 4\end{cases}$

$\Leftrightarrow m\ge 4$

$\Leftrightarrow m\in \left[ 4;2022 \right]$ với $m\in \mathbb{Z}$

$\to $Có $2019$ giá trị nguyên $m$