Cho $A=\frac{5^{2021}+1}{5^{2022}+1}; B=\frac{5^{2020}+1}{5^{2021}+1}$. Hãy so sánh $A$ và $B$.

Ta có `: A = ( 5^2021 + 1 )/( 5^2022 + 1 )`

`5A = ( 5 . ( 5^2021 + 1 ) )/( 5^2022 + 1 )`

`5A = ( 5^2022 + 5 )/( 5^2022 + 1 )`

`5A = ( 5^2022 + 1 + 4 )/( 5^2022 + 1 )`

`5A = 1 + 4/( 5^2022 + 1 )`

Lại có `: B = ( 5^2020 + 1 )/( 5^2021 + 1 )`

`5B = ( 5 . ( 5^2020 + 1 ) )/( 5^2021 + 1 )`

`5B = ( 5^2021 + 5 )/( 5^2021 + 1 )`

`5B = ( 5^2021 + 1 + 4 )/( 5^2021 + 1 )`

`5B = 1 + 4/( 5^2021 + 1 )`

Vì `4/( 5^2021 + 1 ) > 4/( 5^2022 + 1 )` nên `1 + 4/( 5^2021 + 1 ) > 1 + 4/( 5^2022 + 1 )`

`⇒ 5B > 5A ⇒ B > A`  

Vậy `, B > A .`