Cho hình bình hành `ABCD.` Điểm `M` bất kì trên `AC. BM` cắt `DC` tại `E` và cắt `AD` tại `F.` C/m: b. `1/(BF)+1/(BE)=1/(BM)` c. `AF.CE` không đổi khi `M` di chuyển trên `AC?`

$b,$ $ABCD$ là hình bình hành

$⇒BC//AF$

Theo hệ quả định lí $Ta-let$: $\dfrac{BM}{MF}=\dfrac{CM}{AM}$

$⇒\dfrac{BM}{BM+MF}=\dfrac{CM}{AM+CM}$

$⇒\dfrac{BM}{BF}=\dfrac{CM}{AC}$

$AB//CD⇒AB//CE$ theo hệ quả định lí $Ta-let:$

$\dfrac{BM}{ME}=\dfrac{AM}{MC}$

$⇒\dfrac{BM}{BM+ME}=\dfrac{AM}{AM+MC}$

$⇒\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{AM}{AC}$

$⇒\dfrac{BM}{BF}+\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{MC+AM}{AC}=\dfrac{AC}{AC}=1$

$⇒BM.(\dfrac{1}{BF}+\dfrac{1}{BE})=1$

$⇒\dfrac{1}{BF}+\dfrac{1}{BE}=\dfrac{1}{BM}$

$c,$ $DF//BC$ theo $Ta-let:$

$\dfrac{CE}{DC}=\dfrac{BE}{BF}$

$DE//AB$ theo hệ quả định lí $Ta-let:$

$\dfrac{BE}{BF}=\dfrac{AD}{AF}$

$⇒\dfrac{CE}{DC}=\dfrac{AD}{AF}$

$⇒AF.CE=AD.DC$

Vì hình bình hành $ABCD$ không đổi

$⇒AD.DC$ không đổi

$⇒AF.CE$ không đổi

$⇒M$ di chuyển trên $AC$ thì $AF.CE=AD.DC$ không đổi.

$→$ đpcm.