Cho đường tròn tâm (0) và dây BC cố định không đi qua O. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho AB < AC. Kẻ đường kính AK, E là hình chiếu của C trên AK. M là trung điểm của BC. 1) Chứng minh rằng bốn điểm C,E,O,M cùng thuộc một đường tròn. 2) Kẻ AD I BC tại D. Chứng minh rằng AD.AK = AB.AC 3) Chứng minh DE//BK và AMDE cân.

Giải thích các bước giải:

1.Vì $M$ là trung điểm $BC\to OM\perp BC$

$\to \widehat{OMC}=\widehat{OEC}=90^o$

$\to CEMO$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$

2.Vì $AK$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ACK}=90^o$

$\to \widehat{ADB}=\widehat{ACK}=90^o$

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$

$\to \Delta ADB\sim\Delta ACK(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{AK}$

$\to AD.AK=AB.AC$

3.Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{AEC}=90^o$

$\to ACED$ nội tiếp

$\to \widehat{DEA}=\widehat{DCA}=\widehat{ACB}=\widehat{AKB}$

$\to DE//BK$

Kẻ $KF\perp BC$

$\to \widehat{KEC}=\widehat{KFC}=90^o$

$\to KCFE$ nội tiếp

$\to \widehat{AEF}=\widehat{FCK}=\widehat{BCK}=\widehat{BAK}$
$\to EF//AB$

Vì $AK$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ABK}=90^o$

      $DE//BK$

$\to DE\perp EF$

Từ 2 $\to \dfrac{DB}{CK}=\dfrac{AB}{AK}\to BD=\dfrac{AB.CK}{AK}$

Xét $\Delta ABK,\Delta CFK$ có:

$\widehat{ABK}=\widehat{CFK}(=90^o)$

$\widehat{BAK}=\widehat{FCK}$

$\to \Delta ABK\sim\Delta CFK(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{CF}=\dfrac{AK}{CK}$

$\to CF=\dfrac{AB.CK}{AK}=BD$

$\to MD=MB-BD=MC-CF=MF$

$\to M$ là trung điểm $DF$

Mà $\Delta DEF$ vuông tại $E$

$\to ME=MD=MF=\dfrac12DF$

$\to \Delta DME$ cân tại $M$