Cho tứ diện đều ABCD cạnh 2a.Gọi H là trọng tâm tam giác BCD a)Tính góc giữa AB và CD b)Tính tích vô hướng giữa AD và BH

Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên $AB=BC=CD=DA=BD$.

a) $\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} } \right)\overrightarrow {CD} \\  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} \\  = 2a.2a.\cos {120^o} + 2a.2a.\cos {60^o}\\  =  - \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = 0 \end{array}$  

Tương tự $\vec{BC}.\vec{AD}=0$

b) Gọi $M$ là trung điểm $CD$. 

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {BH}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AD}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right)\overrightarrow {AD} \\
 = \underbrace {\dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} }_{ = 0} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AD} \\
 = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AD}  = \dfrac{1}{3}.2a.2a.\cos {60^o}\\
 = \dfrac{1}{3}.4{a^2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{2{a^2}}}{3}
\end{array}$