Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A ( 4 ; -1 ) phương trình đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt lad 2x - 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tg ABC

Đáp án:  $\begin{cases}A\left(4;-1\right)\\B\left(-3;2\right)\\C\left(8;-7\right)\end{cases}$

Giải thích các bước giải:

Gọi đường cao $BH:2x-3y+12=0$

Gọi đường trung tuyến $BM:2x+3y=0$

Có $BH\cap BM=B$

Nên tọa độ $B$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases}2x-3y+12=0\\2x+3y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-3\\y=2\end{cases}\Rightarrow B\left(-3;2\right)$

Ta có $AC\bot BH:2x-3y+12=0$

Nên $AC$ có VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{AC}}}=\left( 3;2 \right)$

Và $AC$ đi qua $A\left( 4;-1 \right)$

Nên $AC:3\left( x-4 \right)+2\left( y+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow AC:3x+2y-10=0$

Ta có $AC\cap BM=M$

Nên tọa độ $M$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases}3x+2y-10=0\\2x+3y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=6\\y=-4\end{cases}\Rightarrow M\left(6;-4\right)$

Với $M\left( 6;-4 \right)\,\,;\,\,A\left( 4;-1 \right)$ và $M$ là trung điểm $AC$

Nên $\begin{cases}x_C=2x_M-x_A=2.6-4=8\\y_C=2y_M-y_A=2.\left(-4\right)+1=-7\end{cases}\Rightarrow C\left(8;-7\right)$

Vậy $\begin{cases}A\left(4;-1\right)\\B\left(-3;2\right)\\C\left(8;-7\right)\end{cases}$