Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại M. N là hình chiếu của M trên BC. a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác NBM và MB là tia phân giác góc AMN. b) Vẽ NK//BM (K thuộc MC). Chứng minh góc BMN = góc MNK và tam giác MNK cân. c) Chứng minh BM vuông góc AN và AN<AK d) Tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện gì để K là trung điểm của MC *vẽ hình ạ*

a)

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $A$ và $\Delta NBM$ vuông tại $N$, ta có:

+  $\widehat{ABM}=\widehat{NBM}$ (vì $BM$ là phân giác $\widehat{ABC}$)

+  $BM$ là cạnh chung

Nên $\Delta ABM=\Delta NBM\left( ch-gn \right)$

Do đó $\widehat{BMA}=\widehat{BMN}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $MB$ là phân giác $\widehat{AMN}$

 

b)

Vì $BM//NK$

Nên $\widehat{BMN}=\widehat{MNK}$ (hai góc so le trong)

Và  $\widehat{BMA}=\widehat{MKN}$ (hai góc đồng vị)

Mà $\widehat{BMN}=\widehat{BMA}\left( cmt \right)$

Do đó$\widehat{MNK}=\widehat{MKN}$

Vậy $\Delta MNK$ cân tại $M$

 

c)

Vì $\Delta ABM=\Delta NBM\left( cmt \right)$

Nên $MA=MN$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $\widehat{MAN}=\widehat{MNA}$

Mà $\widehat{MKN}=\widehat{MNK}\left( cmt \right)$

$\to \widehat{MAN}+\widehat{MKN}=\widehat{MNA}+\widehat{MNK}$

$\to \widehat{MAN}+\widehat{MKN}=\widehat{ANK}$

Mà $\widehat{MAN}+\widehat{MKN}+\widehat{ANK}=180{}^\circ $ (tổng ba góc của một tam giác)

Nên $\widehat{MAN}+\widehat{MKN}=\widehat{ANK}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Do dos $AN\bot NK$

Mà $BM//NK$

Vậy $BM\bot AN$