Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H (1;0), chân đường cao hạ từ điểm B là điểm K (0;2) và trung điểm cạnh AB là M (3;1) . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC

Đáp án:  $BC:3x+4y+2=0$

Giải thích các bước giải:

Với $H\left( 1;0 \right)$ và $K\left( 0;2 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{HK}=\left( -1;2 \right)$

Mà $HK\bot AC$

Nên $\overrightarrow{HK}=\left( -1;2 \right)$ là VTPT của đường thẳng $AC$

Và đường thẳng $AC$ đi qua $K\left( 0;2 \right)$

Nên phương trình đường thẳng $AC$ có dạng:

$\,\,\,\,\,AC:-1\left( x-0 \right)+2\left( y-2 \right)=0$

$\Leftrightarrow AC:-x+2y-4=0$

$\Leftrightarrow AC:x=2y-4$

Vì $A\in AC$

Nên $A$ có tọa độ $A\left( 2y-4;y \right)$

Vì $M\left( 3;1 \right)$ là trung điểm $AB$

Nên $\begin{cases}x_B=2x_M-x_A=2.3-\left(2y-4\right)=-2y+10\\y_B=2y_M-y_A=2.1-y=2-y\end{cases}$

$\Rightarrow B\left(-2y+10;2-y\right)$

Với $\overrightarrow{HK}=\left( -1;2 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{HK}}}=\left( -1;2 \right)$ là VTCP của đường thẳng $HK$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{HK}}}=\left( 2;1 \right)$ là VTPT của đường thẳng $HK$

Và đường thẳng $HK$ đi qua $H\left( 1;0 \right)$

Nên phương trình đường thẳng $HK$ có dạng:

$\,\,\,\,\,HK:2\left( x-1 \right)+1\left( y-0 \right)=0$

$\Leftrightarrow 2x+y-2=0$

Mà $B\left( -2y+10;2-y \right)\in HK$

Do đó $2\left( -2y+10 \right)+\left( 2-y \right)-2=0$

$\Leftrightarrow y=4$

$\Rightarrow B\left( 2;-2 \right)$

$\Rightarrow A\left( 4;4 \right)$

Với $A\left( 4;4 \right)$ và $H\left( 1;0 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( -3;-4 \right)=-\left( 3;4 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{AH}}}=\left( 3;4 \right)$ là một VTCP của đường thẳng $AH$

Mà $AH\bot BC$

Nên đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow{{{u}_{AH}}}=\left( 3;4 \right)$ làm VTPT

Và $BC$ đi qua $B\left( 2;-2 \right)$

Nên đường thẳng $BC$ có dạng:

$\,\,\,\,\,BC:3\left( x-2 \right)+4\left( y+2 \right)=0$

$\Leftrightarrow BC:3x+4y+2=0$