Tìm số nguyên dương n sao cho `{n(2n-1)}/26` là số chính phương

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Vì `(n(2n-1))/26` là số chính phương :

`=>` Đặt `(n(2n-1))/26=k^2`

`=>n(2n-1)=26k^2`

Do `VP=26k^2 \vdots 2`

`=>VT=n(2n-1)\vdots 2`

Mà `2n-1` luôn lẻ

`=>n` chẵn

`=>` Đặt `n=2m`

`=>2m(4m-1)=26k^2`

`=>m(4m-1)=13k^2`

Gọi `ƯCLN(m;4m-1)=d=>` $\begin{cases}m\vdots d\\4m-1\vdots d\end{cases}⇒\begin{cases}4m\vdots d\\4m-1\vdots d\end{cases}$

`=>4m-(4m-1)\vdots d`

`=>1\vdots d=>d=1`

`=>m` và `4m-1` nguyên tố cùng nhau

Đặt `13k^2 =13(ab)^2`

`=>m(4m-1)=13(ab)^2`

`=>m(4m-1)=13a^2 b^2`

`=>` $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m=a^2\\4m-1=13b^2\end{cases}\\ \begin{cases}m=13b^2 \\4m-1=a^2 \end{cases}\end{array} \right.$

Trường hợp $1$ :

$\begin{cases}m=a^2\\4m-1=13b^2\end{cases}$

Ta có : `4m-1=13b^2`

`=>4m=13b^2 +1=12b^2 +b^2 +1`

Vì `12b^2 \vdots 4;4m\vdots 4`

`=>b^2 +1\vdots 4`

`=>b^2 +1≡0(mod 4)`

`=>b^2 ≡-1(mod 4)`

Mà số chính phương chỉ `≡0;1` mod $4$

`->` Vô lí

Trường hợp $2$ :

$\begin{cases}m=13b^2 \\4m-1=a^2 \end{cases}$

Ta có : `4m-1=a^2`

`=>4m=a^2 +1`

Do `4m\vdots 4`

`=>a^2 +1\vdots 4`

`=>a^2 +1≡0(mod 4)`

`=>a^2 ≡-1(mod 4)` 

Mà số chính phương chỉ `≡0;1` mod $4$

`->` Vô lí

Vậy không có số chính phương `n` thỏa mãn đề bài