Cho △ABC có ba góc nhọn , các đường cao BM, CN cắt nhau tại H .Giả sử góc BAC = 60°, chứng minh diện tích △ABC gấp 4 lần diện tích △AMN.

Xét $ΔABM$ và $ΔACN$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ANC}=\widehat{AMB}=90^o$

$⇒ΔABM \sim ΔACN(g-g)$

$⇒\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AM}{AN}$

$⇒\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$

Xét $ΔAMN$ và $ΔABC$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$

$⇒ΔAMN \sim ΔABC(c.g.c)$

$⇒\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AM}{AB})^2$

Lại có: $ΔAMB$ có: $\widehat{AMB}=90^o;\widehat{BAM}=60^o⇒\widehat{ABM}=30^o$

$⇒ΔAMB$ là nửa tam giác đều

$⇒\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}$

$⇒\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$

$⇒S_{ABC}=4S_{AMN}$

$→$ đpcm