Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh a) AH.BC=AB.Ac b) AB²=BH.BC và AC²=CH.BC c) AH²= BH.CH d) Gọi M là trung điểm của BH, N là trung điểm AH. Chứng minh CN vuông góc với AM e) Cho AB=6 cm, AC= 8 cm. Tính AH, BC, BH, CH

Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12AB\cdot AC$

$\to AH\cdot BC=AB\cdot AC$

b.Xét $\Delta BAH,\Delta BAC$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}(=90^o)$

$\to\Delta BAH\sim\Delta BCA(g.g)$

$\to\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BH}{BA}$

$\to AB^2=BH\cdot BC$

Tương tự chứng minh được: $\Delta CAH\sim\Delta CBA(g.g)$

$\to\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CH}{CA}$

$\to AC^2=CH\cdot CB$

c.Xét $\Delta HAB,\Delta HAC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{HCA}$

$\to\Delta HAB\sim\Delta HCA(g.g)$

$\to\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to HA^2=HB\cdot HC$ 

d.Ta có: $M, N$ là trung điểm $HB, HA$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta HAB$

$\to MN//AB$

Mà $AB\perp AC\to MN\perp AC$

Lại có $AH\perp CB\to AN\perp CM$

$\to N$ là trực tâm $\Delta ACM$

$\to CN\perp AM$

e.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$

Mà $AH\cdot CB=AB\cdot AC\to AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4.8$

       $AB^2=BH\cdot BC\to BH=\dfrac{AB^2}{BC}=3.6\to CH=BC-BH=6.4$