Cho hình lục giác đều ABCDEG. Người ta tô đỏ hai đỉnh A và D, tô xanh 4 đỉnh còn lại. Sau đó người ta đổi màu các đỉnh đó theo quy tắc sau: Mỗi lần đổi màu phải chọn 3 đỉnh của một tam giác cân rồi đổi màu đồng thời cả 3 đỉnh đó (đỏ thành xanh, xanh thành đỏ). Hỏi sau một số lần đổi màu theo quy tắc đó thì có thể thu được kết quả là đỉnh C màu đỏ còn 5 đỉnh còn lại màu xanh không?

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Khá dễ dàng thấy $A,O,D$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm của $AD$ nên $A$ đối xứng $D$ qua tâm $O$ của lục giác đều $ABCDEG$

$\to$Đỉnh $A,D$ sẽ không là đỉnh của $\Delta$ cân nào.

Lại có $BCEG$ nếu ta nối lại thì tứ giác $BCEG$ là hình chữ nhật nên $B,C,E,G$ sẽ không thể có ít nhất $3$ điểm là 1 $\Delta$ cân. 

$\to$Khi đó 1 $\Delta$ cân sẽ phải có ít nhất 1 trong 3 đỉnh $A,D$ của lục giác đều $ABCDEG$.

Theo quy tắc đổi màu thì $A,D$ đổi màu

Muốn $A,D$ đổi từ màu đỏ thành màu xanh thì số cách áp dụng quy tắc đổi màu sẽ là 1 số chẵn 

Nếu $C$ từ màu xanh đổi thành màu đỏ thì số cách áp dụng quy tắc đổi màu sẽ là 1 số lẻ

$\to$Nếu thế thì 5 đỉnh còn lại sẽ là màu xanh thì số cách áp dụng có thể là 1 số chẵn và 1 số lẻ(Điều này không đồng thời có thể xảy ra được)

$\to$Sau 1 số lần đổi màu theo quy tắc đó thì không thể thu được $C$ màu đỏ và 5 đỉnh còn lại màu xanh.