Tìm các số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $2^{n}$ -1 chia hết cho 2011

$(2^n-1)\vdots 2011$

$\to 2^n≡1\pmod{2011}(*)(n>10)$

Do $2$ là số nguyên tố và $2011$ cũng là số nguyên tố mà $2\not\vdots 2011$ nên theo định lí Fermat nhỏ ta có:

$2^{2011-1}≡1\pmod{2011}\\\to 2^{2010}≡1\pmod{2011}$ 

Kết hợp với $(*)$ và $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất nên $n\le 2010$

Đặt $2010=nq+r(0\le r<n)$

$\to 2^{nq+r}≡1\pmod{2011}\\2^n≡1\pmod{2011}\\\to 2^{nq}≡1\pmod{2011}\\\to 2^{nq+r-nq}≡1\pmod{2011}\\\to 2^r≡1\pmod{2011}\\\to (2^r -1)\vdots 2011\\\to r=0\\\to 2010=nq\\\to n\in Ư(2010)=2;3;5;6;10; 15;30;67;134; 201;335;402;670;1005;2010 \\\to n=15;30;67;134;201;402;670; 1005; 2010 \\\to \begin{cases} 2^{15}≡1\pmod{2011}\text{(Vô lí)}\\2^{30}≡1\text{(Vô lí)}\pmod{2011}\\2^{67}≡1\text{(Vô lí)}\pmod{2011}\\2^{134}≡1\text{(Vô lí)}\pmod{2011}\\2^{201}≡1\pmod{2011}\text{(Vô lí)}\\2^{335}≡1\pmod{2011}\text{(Vô lí)}\\2^{402}≡1\pmod{2011}\text{(Đúng)}\\2^{670}≡1\pmod{2011}\text{(Vô lí)}\\2^{1005}≡1\pmod{2011}\text{(Vô lí)}\\2^{2010}≡1\pmod{2011} \text{(Đúng)}\end{cases}$

Mà cần tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất nên ta loại $n=2010$ và chọn $n=402$

Vậy $n=402$