Chứng minh A=mn(m^4-n^4) chia hết cho 30

$mn\left( {{m^4} – {n^4}} \right) = {m^5}n – m{n^5} = n\left( {{m^5} – m} \right) – m\left( {{n^5} – n} \right)$

$\forall a\in \mathbb{Z}, a^5-a \vdots 30$

Chứng minh

$\begin{array}{l} {a^5} – a = a\left( {{a^4} – 1} \right) = a\left( {{a^2} – 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) = a\left( {a – 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\\  = a\left( {a – 1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} – 4 + 5} \right) = \left( {a – 2} \right)\left( {a – 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) + 5a\left( {a – 1} \right)\left( {a + 1} \right) \vdots 5 \end{array}$

Ta có tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5, tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3, tích 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 nên $a^5-a\vdots BCNN(2,3,5)=30$

Vậy $mn(m^4-n^4) \vdots 30$ với mọi số m,n thuộc Z