Cho hình thang ABCD (AB//CD) . Gọi M là trung điểm của CD . AM cắt BD tại E , BM cắt AC tại F . a) Chứng minh EF//AB b)Đường thẳng EF cắt AD và BC thứ tự tại H và K . Chứng minh HE = EF = FK c) Biết AB = 7,5 cm ; CD = 12 cm . Tính HK ?

$a,AB//MD$ theo $Ta-let:$

$\dfrac{ME}{AE}=\dfrac{MD}{AB}$

$AB//MC$ theo $Ta-let:$

$\dfrac{MF}{FB}=\dfrac{MC}{AB}$

Lại có: $MC=MD$ ($M$ là trung điểm của $CD$)

$⇒\dfrac{ME}{AE}=\dfrac{MF}{FB}=\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{MC}{AB}$

$⇒EF//AB$

$b,$ $HE//MD$ theo $Ta-let:$

$\dfrac{MD}{HE}=\dfrac{ME}{AM}$

$KF//MC$ theo $Ta-let:$

$\dfrac{MC}{KF}=\dfrac{MF}{MB}$

$EF//MC$ theo $Ta-let:$

$\dfrac{MC}{EF}=\dfrac{ME}{AM}$

Lại có: $MC=MD,\dfrac{ME}{AE}=\dfrac{MF}{FB}⇒\dfrac{ME}{AE+EM}=\dfrac{MF}{MF+FB}⇒\dfrac{ME}{AM}=\dfrac{MF}{MB}$

$⇒\dfrac{MC}{HE}=\dfrac{MC}{KF}=\dfrac{MC}{EF}$

$⇒HE=EF=FK$

$c,$ $H,E,F,K$ thẳng hàng vì cùng $//AB//CD$

$M$ là trung điểm của $CD$

$⇒MC=MD=6cm$

$AB//DM:$ $\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{AB}{DM}=\dfrac{7,5}{6}=\dfrac{5}{4}$

$⇒\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{5}{9}$

$HE//DM$ theo $Ta-let:$

$\dfrac{HE}{DM}=\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{5}{9}$

$⇒HE=\dfrac{5}{9}.DM=\dfrac{5}{9}.6=\dfrac{10}{3}$

$⇒3HE=10$

$⇒HK=10$